Déconvolution d'images

A la recherche de la haute résolution spatiale

Les images obtenues à l'aide de télescopes au sol sont brouillées suite à l'action de deux effets principaux: un EFFET INSTRUMENTAL et un EFFET ATMOSPHERIQUE.

Le brouillage instrumental, qui est présent dans les images obtenues à l'aide de n'importe quel dispositif optique, résulte, d'une part, de l'ouverture finie de l'instrument (la taille du miroir primaire dans un télescope) et, d'autre part, de la présence d'éventuelles aberrations optiques.

Le brouillage atmosphérique, appelé "seeing" en astronomie, est causé par la turbulence de l'air, c'est-à-dire par les mouvements désordonnés de masses d'air de taille et de température variables.

La résolution spatiale des images (c'est-à-dire la dimension des plus petits détails que l'on peut distinguer) est donc limitée par ces deux effets. Dans les meilleurs sites, cette résolution est d'une demi à une seconde d'arc, soit l'angle sous lequel on verrait un homme à une distance de ~ 400 km.

Un des défis majeur de l'astrophysique moderne est d'obtenir des images présentant une résolution spatiale aussi bonne que possible. Les développements récents s'orientent selon 4 axes principaux:

  • Les techniques interférométriques, qui nécessitent l'utilisation de plusieurs télescopes et dont la mise en œuvre est très complexe dans le domaine optique;

  • L'envoi de télescopes dans l'espace, qui permet de s'affranchir des effets atmosphériques mais dont le prix est extrêmement élevé;

  • L'optique adaptative, qui vise à corriger en temps réel les perturbations atmosphériques en modifiant la forme de l'un des miroirs;

  • Les techniques de déconvolution, dont le but est d'améliorer la résolution par un traitement numérique subséquent à l'obtention de l'image.

 

decon001Les anneaux d'Airy: image d'une source ponctuelle à travers une ouverture circulaire. La tache centrale et les anneaux sont d'autant plus grands que le diamètre de l'ouverture (le miroir primaire dans un télescope) est petit.

speckleDéformation de l'image d'une étoile causée par la turbulence atmosphérique. L'obtention d'une telle image requiert un temps de pose très court. Pour des temps de pose plus longs, on obtient une tache de "seeing" résultant du mouvement rapide et désordonné des images individuelles (tavelures).

 

deconv002Le centre d'un amas de galaxies observé avec différentes résolutions spatiales. Lorsque la résolution spatiale s'améliore, des détails de plus en plus fins apparaissent (comme, dans cette image, les arcs formés par effet de mirage gravitationnel).

 

Méthodes traditionnelles de déconvolution

Parmi ces différentes méthodes, la déconvolution est de loin la moins coûteuse et son développement a suivi celui des ordinateurs. Néanmoins, jusqu'il y a peu, les résultats étaient assez décevants: l'amélioration de la résolution spatiale était assez modeste et l'intérêt de la technique était fortement diminué par l'apparition de structures parasites dans l'image, appelées artefacts (par exemple, la présence d'anneaux autour des sources ponctuelles). De plus, il était impossible de réaliser des mesures astrométriques (de position) ou photométriques (d'intensité lumineuse) sur les images déconvoluées, ce qui rendait pratiquement impossible toute analyse quantitative de celles-ci.

 

Une analyse de ces problèmes nous a amenés à la conclusion que l'origine de ceux-ci réside, pour une grande part, dans le fait que ces méthodes traditionnelles de déconvolution tentent de corriger la totalité du brouillage, c'est-à-dire d'obtenir une résolution spatiale parfaite. Or, il est clair que, lorsqu'une image est représentée dans la forme de pixels, il est illusoire de vouloir obtenir des détails plus fins que la taille de ceux-ci. Une telle tentative revient à violer un théorème bien connu en traitement du signal, à savoir le "théorème de l'échantillonnage", démontré par Shannon en 1949.

 

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Exemple de déconvolution par une méthode traditionnelle, illustrant quelques défauts fréquents

A gauche: distribution de lumière exacte, qu'une méthode de déconvolution parfaite devrait obtenir.
Au milieu: observation simulée, avec résolution moindre et erreurs de mesure.
A droite: déconvolution de l'image du centre par la méthode du maximum d'entropie. On discerne des anneaux autour des étoiles superposées au fond diffus, ainsi que des "ponts" reliant les étoiles proches. Les magnitudes et positions de celles-ci ne sont pas reproduites avec précision.

 

Méthode MCS de déconvolution

La solution à ce problème réside dans un algorithme qui ne vise pas à corriger la totalité du brouillage, mais à conserver une partie de celui-ci, de manière à obtenir une image dont les détails les plus fins sont compatibles avec la taille des pixels choisis pour la représenter. On cherche donc la forme de la distribution de lumière qui serait obtenue, non pas avec un instrument parfait, mais avec une meilleur instrument (par exemple, un télescope de 10 m dans l'espace).

 

On choisit donc la taille des pixels et la résolution de l'image déconvoluée de manière à respecter le théorème de l'échantillonnage. Un avantage supplémentaire de cette méthode est que l'observateur connaît a priori la forme que prendra l'image de toutes les sources ponctuelles dans la distribution de lumière déconvoluée, puisque c'est lui qui choisit cette forme. La distribution de lumière peut donc être écrite sous la forme d'une somme de sources ponctuelles (de positions et d'intensités à déterminer) et d'un fond diffus devant, lui aussi, satisfaire au théorème de l'échantillonnage. On lui impose donc une contrainte de lissage de manière à éliminer les détails trop fins par rapport à la taille des pixels.

 

L'algorithme recherche alors les positions et les intensités des sources ponctuelles, ainsi que la forme du fond diffus, rendant le mieux compte de l'image observée, dans la limite des erreurs de mesure. Il s'agit d'un problème mathématique relativement ardu, puisqu'il faut trouver le minimum d'une fonction dans un espace à (N+3M) dimensions, N étant le nombre de pixels et M le nombre de sources ponctuelles. Ainsi, pour déconvoluer une image carrée de 256 pixels de côté comportant 10 sources ponctuelles, la dimension de cet espace est de 65566.

 

Contrairement aux méthodes traditionnelles, la méthode MCS donne une image déconvoluée dans laquelle les positions et les intensités des différentes sources sont respectées, ce qui permet de réaliser des mesures astrométriques et photométriques de très grande précision.

 

deconv006Déconvolution de l'image simulée d'un amas d'étoiles supersposé à une galaxie d'arrière-plan.
En haut à gauche: distribution de lumière "réelle", avec une résolution de 2 pixels;
En bas à gauche: observation simulée, avec une résolution de 6 pixels et des incertitudes de mesure;
En haut au mileu: déconvolution par la méthode du filtre de Wiener;
En bas au milieu: déconvolution par la méthode de Richardson-Lucy;
En haut à droite: déconvolution par la méthode du maximum d'entropie;
En bas à droite: déconvolution par notre méthode MCS.

 

deconv008Image du mirage gravitationnel PKS 1830-211 similaire à celle obtenue dans l'infra-rouge proche par le télescope géant Keck I. L'animation montre la déconvolution par l'algorithme MCS.